Можно ли сделать стяжку поверх досок?

Есть ли способ, который позволяет сделать стяжку пола поверх досок? Доски лежат на балках, под которыми пустота, так что сорвать их нельзя.

Это не проблема. Необходимо проверить на силу вибрации пола, затем исходя от этого выбрать варианты Заливки пола стяжкой. Если вибрации слишком велики придется устанавливать балки - то есть швеллер или двутавр, делать армирование и сначала залить битонную плиту толщиной 10 см, после чего уложить металлическую сетку для перевязки кирпича и залить стяжку 5см. При легких вибрациях сделать перевязку арматурой и залить слой стяжки 7см. Вибрация практически отсутствует - значит вам крупно повезло. Кладем сетку для перевязки кирпича ячейкой 5-10см и заливаем стяжку толщиной 5 см.

Если нет возможности сорвать доски, их можно вырезать, допустим турбынкой, заполнить пустоту утеплителем и залить пол.

Конечно можно. Сначала нужно устранить вбрацию досок, потом положите парагидроиззоляцию (можно использовать плотную полиэтиленовую пленку). Затем сделайте армирование железной сеткой. Отбейте маяки и залейте специальным средством для выравнивания полов.